Raíces enésimas
Definición
La raíz enésima de $a$ es $b$ si $b^{n}=a$.
$$\sqrt[n]{a}=b\iff b^{n}=a$$
$n$ es el índice, $a$ el radicando y $b$ el resultado.
Ejemplos:
$$\sqrt[3]{27}=3\iff 3^{3}=27 \qquad \sqrt[3]{8}=2\iff 2^{3}=8$$
Relación raíz – potencia
Con $m\in\mathbb{Z}$ y $n\in\mathbb{N}$, $n>1$:
$$\sqrt[n]{a^{m}}=a^{m/n}$$
Ejemplos:
$$\sqrt[5]{2^{4}}=2^{4/5}\qquad \sqrt{2}=2^{1/2}\qquad \sqrt[4]{2^{6}}=2^{6/4}=2^{3/2}=\sqrt{2^{3}}$$
Simplificación y amplificación (índice – exponente)
Multiplicar (o dividir) el índice y el exponente por el mismo número no cambia la raíz:
$$\sqrt[n\cdot m]{a^{p\cdot m}}=\sqrt[n]{a^{p}}$$
Ejemplo:
$$\sqrt[4]{1024}=\sqrt[4]{2^{10}}=\sqrt{2^{5}}$$
(Dividimos el índice $4$ y el exponente $10$ entre $2$.)
Extraer e introducir factores
$$\sqrt[n]{a^{p\cdot n}\cdot b}=a^{p}\cdot\sqrt[n]{b}$$
Ejemplos:
$$\sqrt[3]{3^{5}}=\sqrt[3]{3^{3}\cdot 3^{2}}=3\cdot\sqrt[3]{3^{2}}$$
$$5\cdot\sqrt[4]{5^{3}}=\sqrt[4]{5^{4}\cdot 5^{3}}=\sqrt[4]{5^{7}}$$
Para extraer factores descomponemos el radicando en factores primos. Ejemplo de la pizarra:
$$12960=2^{5}\cdot 3^{4}\cdot 5$$
$$\sqrt[4]{12960}=\sqrt[4]{2^{5}\cdot 3^{4}\cdot 5}=2\cdot 3\cdot\sqrt[4]{2\cdot 5}=6\cdot\sqrt[4]{10}$$
$$\sqrt[3]{32}=\sqrt[3]{2^{5}}=2\cdot\sqrt[3]{2^{2}}$$