Conjetura de Collatz y Dinámica simbólica
Investigo la estructura fractal de las órbitas del problema 3n+1 desde el punto de vista de la dinámica simbólica y la aritmética modular. La idea: describir el comportamiento global de Collatz como un sistema dinámico sobre clases de residuos.
Paper principal
Dinámica modular fractal y la conjetura de Collatz
Para todo n entero positivo y m aplicaciones de la función de Collatz, la iterada Tm(n) se puede expresar como
donde s es el número de pasos impares, Cmk es el camino simbólico de n (la sucesión de paridades a lo largo de m iteraciones), y R(·) es un residuo que codifica la contribución aritmética del camino. Esta formulación permite tratar Collatz como una dinámica sobre clases de residuos módulo 2m y revela una estructura autosemejante en el árbol de órbitas.
Líneas de trabajo
Codificación simbólica de órbitas
Caracterización de los caminos Cmk y su relación con los ciclos de Collatz en Z/2mZ.
Autosemejanza modular
Estudio del patrón fractal que aparece en la función residuo R(·) al aumentar la profundidad de iteración m.
Cotas sobre la longitud de vuelo
Estimaciones sobre el número de pasos necesarios para alcanzar 1 en términos del camino simbólico.
Visualizaciones
Visualizaciones interactivas del árbol de órbitas de Collatz y de la estructura modular del residuo R(·). En preparación.
Congresos
Participaciones en congresos y seminarios se publicarán aquí a medida que vayan sucediendo.