Inicio / Docencia / 2n ESO / Fraccions / 04 · Operacions
2n ESO · Fraccions Apunts 15 set 2025

4. Operacions amb fraccions

Suma, resta, multiplicació, divisió, operacions combinades i potències de fraccions.

Suma i resta

Regla

Només es poden sumar i/o restar fraccions que tenen el mateix denominador. Si no en tenen, s'ha d'aconseguir.

Procediment quan els denominadors són diferents

  1. Calcular el MCM de tots els denominadors.
  2. Amplificar totes les fraccions perquè tinguin aquest denominador comú.
  3. Sumar i/o restar els numeradors. El denominador no varia.
  4. Si es pot, simplificar el resultat.

Exemple.

$$\dfrac{15}{4} - \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{10} \;=\; \dfrac{75}{20} - \dfrac{12}{20} + \dfrac{2}{20} \;=\; \dfrac{65}{20} \;=\; \dfrac{13}{4}$$

$\text{MCM}(4, 5, 10) = 20$. Amplifiquem cadascuna a denominador $20$, sumem/restem numeradors i simplifiquem dividint per $5$.

Multiplicació

Regla

La multiplicació es fa en línia: numerador per numerador, denominador per denominador. No cal denominador comú.

$$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}$$

Exemple senzill.

$$\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{15}{14}$$
Abans de multiplicar, és útil simplificar en creu: si un numerador i un denominador (de qualsevol fracció) tenen un divisor comú, es pot dividir directament. Això evita treballar amb números gegants.

Exemple amb simplificació prèvia.

$$\dfrac{50}{16} \cdot \dfrac{28}{98} \cdot \dfrac{8}{125} \cdot \dfrac{10}{14} = \dfrac{2}{49}$$

Descomponent en factors primers (els $5$, $2$ i $7$ es cancel·len entre numeradors i denominadors), arribem directament a $\dfrac{2}{49}$ sense multiplicar els quatre numeradors.

Divisió

Regla

Per dividir fraccions, es multiplica en creu. Equivalentment, es multiplica per la fracció inversa de la segona.

$$\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} \;=\; \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} \;=\; \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Una fracció dins d'una altra (fracció composta) és el mateix que una divisió:

$$\dfrac{\;\dfrac{a}{b}\;}{\;\dfrac{c}{d}\;} \;=\; \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} \;=\; \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

Exemple.

$$\dfrac{3}{4} : \dfrac{2}{5} \;=\; \dfrac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} \;=\; \dfrac{15}{8}$$

Operacions combinades

Jerarquia de les operacions

  1. Preparar: simplificar el que es pugui i, si un nombre no té denominador, posar-li $1$ (per exemple $12 = \dfrac{12}{1}$).
  2. Parèntesis i claudàtors, de dins cap a fora.
  3. Potències i arrels.
  4. Multiplicacions i divisions, d'esquerra a dreta.
  5. Sumes i restes, d'esquerra a dreta.

Exemple. Calculem:

$$\dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{11}{20} - \dfrac{12}{30}\right) \;-\; \dfrac{7}{8} : \left(\dfrac{4}{3} + 12\right) \;-\; \dfrac{1}{5}$$

Pas 1 — Simplifiquem dins dels parèntesis

$\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ i $12 = \dfrac{12}{1} = \dfrac{36}{3}$:

$$= \dfrac{5}{6}\left(\dfrac{11}{20} - \dfrac{8}{20}\right) - \dfrac{7}{8} : \left(\dfrac{4}{3} + \dfrac{36}{3}\right) - \dfrac{1}{5}$$

Pas 2 — Resolem els parèntesis

$$= \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{20} \;-\; \dfrac{7}{8} : \dfrac{40}{3} \;-\; \dfrac{1}{5}$$

Pas 3 — Multiplicacions i divisions

$$= \dfrac{15}{120} \;-\; \dfrac{21}{320} \;-\; \dfrac{1}{5} \;=\; \dfrac{1}{8} \;-\; \dfrac{21}{320} \;-\; \dfrac{1}{5}$$

Pas 4 — Sumes i restes amb denominador comú $320$

$$= \dfrac{40}{320} - \dfrac{21}{320} - \dfrac{64}{320} \;=\; \dfrac{40 - 21 - 64}{320} \;=\; \dfrac{-45}{320} \;=\; -\dfrac{9}{64}$$

Potències

Les propietats de les potències també valen per a fraccions. Resumim-les en parelles (regla per nombres / regla per fraccions):

Mateixa base

Producte
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Producte (fraccions)
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m} \cdot \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m+n}$$
Quocient
$$a^m : a^n = a^{m-n}$$
Quocient (fraccions)
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m} : \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m-n}$$

Mateix exponent

Producte
$$a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$$
Producte (fraccions)
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m} \cdot \left(\dfrac{c}{d}\right)^{\!m} = \left(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\right)^{\!m}$$
Quocient
$$a^m : b^m = (a : b)^m$$
Quocient (fraccions)
$$\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m} : \left(\dfrac{c}{d}\right)^{\!m} = \left(\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}\right)^{\!m}$$

Potència de potència

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} \qquad\qquad \left[\left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m}\right]^{\!n} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!m \cdot n}$$

Casos especials

Exponent 0
$$a^0 = 1 \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!0} = 1$$
Exponent 1
$$a^1 = a \qquad \left(\dfrac{a}{b}\right)^{\!1} = \dfrac{a}{b}$$

Signe d'una potència

Quan la base és negativa, el signe del resultat depèn de la paritat de l'exponent:

$$(-a)^n = \begin{cases} \;\;\;a^n & \text{si } n \text{ és parell} \\ -a^n & \text{si } n \text{ és imparell} \end{cases}$$
No és el mateix $(-a)^n$ que $-a^n$. En el primer, el signe està dins de la potència; en el segon, només es fa $a^n$ i després es canvia el signe. Per exemple, $(-2)^2 = 4$, però $-2^2 = -4$.