Inicio / Docencia / 2n ESO / Fraccions / 06 · Més exercicis (26 set)
2n ESO · Fraccions Exercicis 26 set 2025

6. Més exercicis resolts

Operacions combinades amb fraccions, arrels quadrades i potències amb exponents negatius.

32. Fracció irreductible respectant la prioritat

Calcula i dona el resultat com a fracció irreductible, tenint en compte la jerarquia de les operacions.

32 · a
$$-\dfrac{5}{9} - \left(\dfrac{2}{5}\right)^{\!2} + 3$$

Primer la potència, després les sumes/restes amb $\text{MCM}(9, 25, 1) = 225$:

$$= -\dfrac{5}{9} - \dfrac{4}{25} + \dfrac{3}{1} = -\dfrac{125}{225} - \dfrac{36}{225} + \dfrac{675}{225}$$
$$= \dfrac{-125 - 36 + 675}{225} = \dfrac{514}{225}$$

$514 = 2 \cdot 257$ i $225 = 3^2 \cdot 5^2$, no tenen divisors comuns: irreductible.

$$\dfrac{514}{225}$$
32 · b
$$\dfrac{6}{45} : \left(\dfrac{5}{25} + \dfrac{7}{75}\right)$$

Simplifiquem $\dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$ i $\dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5}$, i resolem el parèntesi (denominador comú $75$):

$$= \dfrac{2}{15} : \left(\dfrac{15}{75} + \dfrac{7}{75}\right) = \dfrac{2}{15} : \dfrac{22}{75}$$

Convertim la divisió en multiplicació pel invers:

$$= \dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{75}{22} = \dfrac{150}{330} = \dfrac{5}{11}$$
$$\dfrac{5}{11}$$

34. Operacions combinades amb arrels i potències

Efectua les operacions i simplifica el resultat sempre que es pugui.

34 · d
$$\sqrt{\dfrac{9}{121}} + \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{24}{25} - \dfrac{1}{2} : \left(-\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4}\right)$$

Calculem l'arrel, la multiplicació i el parèntesi:

$$\sqrt{\dfrac{9}{121}} = \dfrac{3}{11}, \quad \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{24}{25} = \dfrac{120}{300} = \dfrac{2}{5}, \quad -\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = -\dfrac{5}{12}$$

Substituïm i resolem la divisió (els dos signes negatius es cancel·len):

$$= \dfrac{3}{11} + \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{2} : \left(-\dfrac{5}{12}\right) = \dfrac{3}{11} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{12}{10} = \dfrac{3}{11} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}$$

Denominador comú $\text{MCM}(11, 5) = 55$:

$$= \dfrac{15}{55} + \dfrac{22}{55} + \dfrac{66}{55} = \dfrac{103}{55}$$

$103$ és primer i no divideix $55 = 5 \cdot 11$: irreductible.

$$\dfrac{103}{55}$$
34 · e
$$\dfrac{28}{60} - \dfrac{5}{36} \cdot \left(-\dfrac{27}{75}\right) + \sqrt{\dfrac{256}{625}} + 20 : (-8)$$

Simplifiquem cada bloc abans de combinar:

$$\dfrac{28}{60} = \dfrac{7}{15}, \quad \dfrac{5}{36} \cdot \dfrac{27}{75} = \dfrac{135}{2700} = \dfrac{1}{20}, \quad \sqrt{\dfrac{256}{625}} = \dfrac{16}{25}, \quad 20 : (-8) = -\dfrac{5}{2}$$

(El producte $\dfrac{5}{36} \cdot \left(-\dfrac{27}{75}\right)$ porta un signe negatiu, però hi ha un altre menys davant: queden positius.) Substituïm:

$$= \dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{16}{25} - \dfrac{5}{2}$$

Denominador comú $\text{MCM}(15, 20, 25, 2) = 300$:

$$= \dfrac{140}{300} + \dfrac{15}{300} + \dfrac{192}{300} - \dfrac{750}{300} = \dfrac{-403}{300}$$

$403 = 13 \cdot 31$ i $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$, no tenen divisors comuns.

$$-\dfrac{403}{300}$$
34 · f
$$\left(\dfrac{6}{7}\right)^{\!3} : \left(\dfrac{6}{7}\right)^{\!2} - \dfrac{65}{18} \cdot \dfrac{12}{39} + \left(-\dfrac{9}{5}\right)^{\!3} \cdot \left(-\dfrac{9}{5}\right)^{\!-5}$$

Apliquem propietats de potències i simplifiquem la multiplicació:

$$\left(\dfrac{6}{7}\right)^{\!3-2} = \dfrac{6}{7}, \quad \dfrac{65}{18} \cdot \dfrac{12}{39} = \dfrac{5 \cdot 13 \cdot 2^2 \cdot 3}{2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 13} = \dfrac{10}{9}, \quad \left(-\dfrac{9}{5}\right)^{\!3-5} = \left(-\dfrac{9}{5}\right)^{\!-2} = \dfrac{25}{81}$$

(L'exponent $-2$ és parell, per això el resultat de la potència és positiu.)

$$= \dfrac{6}{7} - \dfrac{10}{9} + \dfrac{25}{81}$$

Denominador comú $\text{MCM}(7, 9, 81) = 567$:

$$= \dfrac{486}{567} - \dfrac{630}{567} + \dfrac{175}{567} = \dfrac{31}{567}$$

$31$ és primer i no divideix $567 = 7 \cdot 3^4$: irreductible.

$$\dfrac{31}{567}$$
34 · g
$$\left[\left(-\dfrac{12}{9}\right)^{\!-6} \cdot \left(-\dfrac{12}{9}\right)^{\!5}\right] : \left[\left(\dfrac{10}{7}\right)^{\!4} \cdot \left(\dfrac{10}{7}\right)^{\!-5}\right]$$

Mateixa base dins de cada claudàtor → sumem exponents:

$$= \left(-\dfrac{12}{9}\right)^{\!-1} : \left(\dfrac{10}{7}\right)^{\!-1}$$

Mateix exponent en les dues bases → els podem agrupar:

$$= \left(-\dfrac{12}{9} : \dfrac{10}{7}\right)^{\!-1} = \left(-\dfrac{12}{9} \cdot \dfrac{7}{10}\right)^{\!-1} = \left(-\dfrac{84}{90}\right)^{\!-1}$$

Una potència $-1$ és invertir la fracció:

$$= -\dfrac{90}{84} = -\dfrac{15}{14}$$
$$-\dfrac{15}{14}$$
A 34g, com que $-\dfrac{12}{9} = -\dfrac{4}{3}$, es podia simplificar la base abans de tot. Hauria sortit $\left(-\dfrac{4}{3}\right)^{\!-1} : \left(\dfrac{10}{7}\right)^{\!-1} = \left(-\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{7}{10}\right)^{\!-1} = \left(-\dfrac{28}{30}\right)^{\!-1} = -\dfrac{30}{28} = -\dfrac{15}{14}$. Mateix resultat amb números més petits.