Inicio / Docencia / 2n ESO / Fraccions / 07 · Problemes
2n ESO · Fraccions Problemes 6 oct 2025

7. Problemes amb fraccions

Idees prèvies, concepte de "la resta" i problemes resolts pas a pas.

Idees prèvies

Aplicar una fracció a un nombre

Trobar "$\dfrac{a}{b}$ de $c$" és multiplicar la fracció pel nombre:

$$\dfrac{a}{b} \text{ de } c = \dfrac{a \cdot c}{b}$$

Exemple. $\dfrac{3}{8}$ de $24 = \dfrac{3 \cdot 24}{8} = \dfrac{72}{8} = 9$.

Trobar la fracció

Per trobar quina fracció representa una situació, es divideix el nombre que compleix la condició entre el nombre total:

$$\text{fracció} = \dfrac{\text{nombre que compleix la condició}}{\text{nombre total}}$$

Exemple. En una classe de 22 alumnes, 8 juguen a bàsquet. La fracció dels que juguen és $\dfrac{8}{22} = \dfrac{4}{11}$.

Concepte de "la resta"

Si una part es queda fora ($\dfrac{a}{b}$ del total), "la resta" és el complementari, és a dir, $1 - \dfrac{a}{b}$. Per aplicar una fracció sobre la resta, primer calculem la resta i després multipliquem.

Exemple. En una classe de 30 alumnes, $\dfrac{1}{3}$ juga a bàsquet i la meitat de la resta no fa cap esport. Quants no fan esport?

  • Juguen a bàsquet: $\dfrac{1}{3}$ de $30 = 10$.
  • "La resta" (no juguen a bàsquet): $\dfrac{2}{3}$.
  • No fan esport: $\dfrac{1}{2}$ de $\dfrac{2}{3}$ de $30 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot 30 = \dfrac{60}{6} = 10$.
La paraula "la resta" en aquests problemes vol dir "el que queda després de treure el primer tros". És fàcil confondre-ho amb la "resta" com a operació (subtracció). Quan llegim un problema, conviene preguntar-se: la resta de què?

Problemes resolts

10

En una conferència sobre la pau i el desarmament, $\dfrac{2}{5}$ dels participants són catalans, $\dfrac{1}{4}$ francesos i $\dfrac{6}{7}$ de la resta són alemanys.

  1. Quina fracció del total constitueix el grup d'alemanys?
  2. Si el grup d'alemanys està format per 90 persones, quants participants hi ha a la conferència?

a) Catalans i francesos junts: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20}$.

"La resta" (ni catalans ni francesos): $1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$.

Alemanys = $\dfrac{6}{7}$ de la resta:

$$\dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{7}{20} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$$

b) Si $\dfrac{3}{10}$ del total són $90$ persones:

$$\dfrac{3}{10} \cdot T = 90 \quad\Longrightarrow\quad T = 90 \cdot \dfrac{10}{3} = 300 \text{ persones}$$

a) $\dfrac{3}{10}$ del total són alemanys.

b) Hi ha $300$ participants.

11

Les $\dfrac{3}{5}$ parts dels 300 alumnes d'una escola tenen 1 o 2 germans. Els $\dfrac{2}{5}$ de la resta en tenen 3.

  1. Quina fracció d'alumnes tenen més de 3 germans?
  2. Quants alumnes tenen més de 3 germans?

a) Resta (no tenen 1 ni 2 germans): $1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Tenen exactament 3 germans: $\dfrac{2}{5}$ de $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$.

Tenen més de 3 germans: $\dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{25} = \dfrac{10}{25} - \dfrac{4}{25} = \dfrac{6}{25}$.

b) $\dfrac{6}{25}$ de $300$:

$$\dfrac{6}{25} \cdot 300 = \dfrac{1800}{25} = 72 \text{ alumnes}$$

a) $\dfrac{6}{25}$ tenen més de 3 germans.

b) Són $72$ alumnes.

12

Un comerciant va vendre ahir $\dfrac{1}{3}$ d'una peça de roba. Avui ha venut la meitat del que li quedava.

  1. Quina fracció ha venut avui?
  2. Quina fracció ha venut en total?
  3. Quina fracció li queda per vendre?

Després d'ahir, li quedava: $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

a) Avui ven la meitat del que quedava: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

b) Total venut: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

c) Queda: $1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

a) $\dfrac{1}{3}$  ·  b) $\dfrac{2}{3}$  ·  c) $\dfrac{1}{3}$

13

El Roger estalvia cada mes 150 € del sou. Del sou, gasta $\dfrac{1}{5}$ en habitatge i menjar, $\dfrac{1}{6}$ en llibres i material i $\dfrac{1}{10}$ en el seu temps lliure. Quin és el sou de Roger?

Suma de despeses (denominador comú $30$):

$$\dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{6}{30} + \dfrac{5}{30} + \dfrac{3}{30} = \dfrac{14}{30} = \dfrac{7}{15}$$

L'estalvi és el complementari: $1 - \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}$. I aquest val 150 €:

$$\dfrac{8}{15} \cdot S = 150 \quad\Longrightarrow\quad S = 150 \cdot \dfrac{15}{8} = \dfrac{2250}{8} = \dfrac{1125}{4}$$

$S = \dfrac{1125}{4} = 281{,}25\,€$

La solució no és un nombre rodó, cosa estranya per un problema de classe. És possible que alguna fracció original sigui diferent (per exemple, amb $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{1}{6}$ i $\dfrac{1}{10}$ surt $S = 375\,€$). Comprova l'enunciat.
14

D'un solar es dediquen $\dfrac{2}{5}$ a habitatges, $\dfrac{3}{4}$ de la resta a instal·lacions esportives, i els $3200\,\text{m}^2$ que resten a un parc públic. Quina és la superfície total del solar?

Després dels habitatges queda $\dfrac{3}{5}$. Els esports són $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{20}$ del total.

El parc és el que queda després dels esports:

$$1 - \dfrac{2}{5} - \dfrac{9}{20} = \dfrac{20}{20} - \dfrac{8}{20} - \dfrac{9}{20} = \dfrac{3}{20}$$

Aquesta fracció correspon a $3200\,\text{m}^2$:

$$\dfrac{3}{20} \cdot S = 3200 \quad\Longrightarrow\quad S = 3200 \cdot \dfrac{20}{3} = \dfrac{64000}{3}\,\text{m}^2$$

$S = \dfrac{64000}{3} \approx 21\,333{,}33\,\text{m}^2$

Tampoc surt un nombre rodó. Si el parc fossin $1\,200\,\text{m}^2$, la superfície seria $8\,000\,\text{m}^2$ (clàssic). Sospito un typo a l'enunciat ($3200 \to 1200$ o algun fracció diferent).
15

Una excursionista ha recorregut $\dfrac{3}{5}$ d'un camí; de la part feta, $\dfrac{1}{4}$ caminant i la resta en bicicleta.

  1. Quina part del camí ha recorregut caminant?
  2. Quina part del camí ha recorregut en bicicleta?
  3. Quina part li queda per fer?

a) Caminant = $\dfrac{1}{4}$ de $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{20}$.

b) Bicicleta = $\dfrac{3}{4}$ de $\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{20}$.

c) Queda = $1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Comprovació: $\dfrac{3}{20} + \dfrac{9}{20} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{20} + \dfrac{9}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{20}{20} = 1$ ✓.

a) $\dfrac{3}{20}$  ·  b) $\dfrac{9}{20}$  ·  c) $\dfrac{2}{5}$

A l'enunciat imprès posa que ha recorregut $\dfrac{1}{4}$ del camí, però la solució utilitza $\dfrac{3}{5}$. Hi ha contradicció entre l'enunciat i la solució. Com que la solució utilitza $\dfrac{3}{5}$ de manera consistent, he reescrit l'enunciat amb $\dfrac{3}{5}$.
16

Contesta justificant la resposta:

  1. $\dfrac{4}{7}$ de $\dfrac{2}{5}$ dels 105 alumnes de 2n d'ESO juguen a bàsquet. Quina fracció juga a bàsquet? Quants no juguen?
  2. La meitat dels $\dfrac{3}{4}$ d'un nombre és 18. Quin és aquest nombre?
  3. Quants minuts són $\dfrac{5}{6}$ de $\dfrac{3}{5}$ d'hora?
  4. Si dono $\dfrac{3}{7}$ de la meitat d'un pastís, quin tros em queda?

a) Fracció: $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{35}$. Juguen: $\dfrac{8}{35} \cdot 105 = 24$ alumnes. No juguen: $105 - 24 = 81$ alumnes.

b) $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot x = 18 \Longrightarrow \dfrac{3}{8} x = 18 \Longrightarrow x = 18 \cdot \dfrac{8}{3} = 48$.

c) $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{3}{5} \cdot 60 = \dfrac{15}{30} \cdot 60 = \dfrac{1}{2} \cdot 60 = 30$ minuts.

d) Donat: $\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{14}$. Queda: $1 - \dfrac{3}{14} = \dfrac{11}{14}$.

a) $\dfrac{8}{35}$, $81$ no juguen  ·  b) $48$  ·  c) $30$ minuts  ·  d) $\dfrac{11}{14}$

17

El Toni i els seus amics es van menjar $\dfrac{3}{5}$ d'una coca de brioix. Després, el Toni va repartir la part que va sobrar entre els seus 3 veïns. Quina fracció va rebre cada veí?

El que va sobrar: $1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$.

Repartit entre 3 veïns:

$$\dfrac{2}{5} : 3 = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{15}$$

Cada veí rep $\dfrac{2}{15}$ de la coca.

18

L'Eduard compra una col·lecció de llibres per 1200 € i tria pagament fraccionat. D'entrada paga $\dfrac{1}{6}$ del preu, i el mes següent ha de pagar $\dfrac{3}{5}$ del que queda.

  1. Quant paga d'entrada?
  2. Quina fracció del preu paga al cap d'un mes?
  3. Quant haurà pagat fins aleshores?
  4. Quina fracció del total queda per pagar?

a) Entrada: $\dfrac{1}{6}$ de $1200 = 200\,€$.

b) Després de l'entrada queda $\dfrac{5}{6}$. Al mes paga $\dfrac{3}{5}$ d'aquesta resta:

$$\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \text{ del preu total}$$

c) Pagament al mes: $\dfrac{1}{2} \cdot 1200 = 600\,€$. Total: $200 + 600 = 800\,€$.

d) Fracció pagada: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$. Per tant queda $1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$.

a) $200\,€$  ·  b) $\dfrac{1}{2}$  ·  c) $800\,€$  ·  d) $\dfrac{1}{3}$ (= $400\,€$)

19

Un pagès rega $\dfrac{2}{5}$ d'un camp al matí. A la tarda rega la resta, que són $6\,000\,\text{m}^2$. Quina és la superfície del camp?

La resta = $1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$, i aquesta val $6\,000\,\text{m}^2$:

$$\dfrac{3}{5} \cdot S = 6\,000 \quad\Longrightarrow\quad S = 6\,000 \cdot \dfrac{5}{3} = 10\,000\,\text{m}^2$$

$S = 10\,000\,\text{m}^2$.