Deures per al 14 d'octubre
Cada apartat té la solució plegada. Fes l'exercici a la llibreta i, quan el tinguis, clica a sobre de l'enunciat per desplegar-la i comprovar-lo. Només els apartats marcats a classe.
32Efectua les operacions següents i simplifica'n el resultat
d) $\sqrt{5^{7}}$
$$\sqrt{5^{7}}=\sqrt{5^{6}\cdot 5}=5^{3}\sqrt{5}=125\sqrt{5}$$
f) $\sqrt[6]{2^{8}}$
$$\sqrt[6]{2^{8}}=\sqrt[3]{2^{4}}=\sqrt[3]{2^{3}\cdot 2}=2\cdot\sqrt[3]{2}$$
33Escriu en forma de radical les potències següents
a) $3^{2/3}$
$$3^{2/3}=\sqrt[3]{3^{2}}$$
c) $\left(\dfrac{4}{3}\right)^{7/12}$
$$\left(\dfrac{4}{3}\right)^{7/12}=\sqrt[12]{\left(\dfrac{4}{3}\right)^{7}}$$
f) $\left(-\dfrac{1}{7}\right)^{3/5}$
$$\left(-\dfrac{1}{7}\right)^{3/5}=\sqrt[5]{\left(-\dfrac{1}{7}\right)^{3}}$$
34Extreu tots els factors possibles, numèrics i literals, d'aquests radicals
h) $\sqrt[4]{x^{5}y^{8}z}$
De cada lletra surten tants factors com cabin: $x^5=x^4\cdot x$ i $y^8=(y^2)^4$.
$$\sqrt[4]{x^{5}y^{8}z}=x\,y^{2}\,\sqrt[4]{x\,z}$$
i) $\sqrt[3]{54x^{3}y^{4}z^{12}}$
$54=2\cdot 3^{3}$.
$$\sqrt[3]{54x^{3}y^{4}z^{12}}=\sqrt[3]{2\cdot 3^{3}\cdot x^{3}\cdot y^{3}\cdot y\cdot z^{12}}=3\,x\,y\,z^{4}\,\sqrt[3]{2y}$$
j) $\sqrt[5]{972x^{7}y^{5}z^{10}}$
$972=2^{2}\cdot 3^{5}$.
$$\sqrt[5]{972x^{7}y^{5}z^{10}}=\sqrt[5]{2^{2}\cdot 3^{5}\cdot x^{5}\cdot x^{2}\cdot y^{5}\cdot z^{10}}=3\,x\,y\,z^{2}\,\sqrt[5]{4x^{2}}$$
35Calcula el resultat de les operacions següents
c) $\sqrt{12}-3\sqrt{27}+5\sqrt{3}+\sqrt{75}$
$12=2^2\cdot 3,\ 27=3^3,\ 75=5^2\cdot 3$.
$$2\sqrt{3}-3\cdot 3\sqrt{3}+5\sqrt{3}+5\sqrt{3}=(2-9+5+5)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$
d) $\sqrt[3]{40}+\sqrt{50}-3\sqrt{28}+2\sqrt{2}-2\sqrt[3]{5}+2\sqrt[3]{125}$
$40=2^3\cdot 5,\ 50=2\cdot 5^2,\ 28=2^2\cdot 7,\ \sqrt[3]{125}=5$.
$$2\sqrt[3]{5}+5\sqrt{2}-6\sqrt{7}+2\sqrt{2}-2\sqrt[3]{5}+10$$
Els radicals $\sqrt[3]{5}$ s'anul·len i els de $\sqrt{2}$ se sumen; $\sqrt{7}$ no s'hi pot unir.
$$10+7\sqrt{2}-6\sqrt{7}$$
36Efectua les operacions proposades
Totes amb bases positives.
e) $\sqrt[3]{5^{2}}\cdot\sqrt[6]{5}\cdot\sqrt{5}$
Amb exponents fraccionaris:
$$5^{2/3}\cdot 5^{1/6}\cdot 5^{1/2}=5^{(4+1+3)/6}=5^{8/6}=5^{4/3}=\sqrt[3]{5^{4}}=5\cdot\sqrt[3]{5}$$
f) $\sqrt{\left(\dfrac{1}{5}\right)^{3}}:\sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{5}\right)^{5}}\cdot\sqrt[4]{\dfrac{1}{5}}$
$$\left(\dfrac{1}{5}\right)^{3/2-5/3+1/4}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{(18-20+3)/12}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{1/12}=\sqrt[12]{\dfrac{1}{5}}$$
h) $\sqrt{\sqrt[4]{2}}\cdot\left(\sqrt[5]{2}\right)^{2}$
$$2^{1/8}\cdot 2^{2/5}=2^{(5+16)/40}=2^{21/40}=\sqrt[40]{2^{21}}$$
k) $\sqrt{\sqrt[3]{a^{20}}}:\sqrt[6]{a^{8}}$
$$a^{20/6}:a^{8/6}=a^{12/6}=a^{2}$$
l) $\sqrt[4]{a^{7}b^{4}}:\sqrt{\sqrt{a^{3}b^{4}}}$
$\sqrt{\sqrt{a^3b^4}}$ és una arrel quarta. Amb $a,b>0$:
$$\sqrt[4]{a^{7}b^{4}}:\sqrt[4]{a^{3}b^{4}}=\sqrt[4]{\dfrac{a^{7}b^{4}}{a^{3}b^{4}}}=\sqrt[4]{a^{4}}=a$$