Conjectura de Collatz i Dinàmica simbòlica
Investigo l'estructura fractal de les òrbites del problema 3n+1 des del punt de vista de la dinàmica simbòlica i l'aritmètica modular. La idea: descriure el comportament global de Collatz com un sistema dinàmic sobre classes de residus.
Paper principal
Dinàmica modular fractal i la conjectura de Collatz
Per a tot n enter positiu i m aplicacions de la funció de Collatz, la iterada Tm(n) es pot expressar com
on s és el nombre de passos imparells, Cmk és el camí simbòlic de n (la successió de paritats al llarg de m iteracions), i R(·) és un residu que codifica la contribució aritmètica del camí. Aquesta formulació permet tractar Collatz com una dinàmica sobre classes de residus mòdul 2m i revela una estructura autosemblant en l'arbre d'òrbites.
Línies de treball
Codificació simbòlica d'òrbites
Caracterització dels camins Cmk i la seva relació amb els cicles de Collatz a Z/2mZ.
Autosemblança modular
Estudi del patró fractal que apareix en la funció residu R(·) en augmentar la profunditat d'iteració m.
Cotes sobre la longitud de vol
Estimacions sobre el nombre de passos necessaris per arribar a 1 en termes del camí simbòlic.
Visualitzacions
Visualitzacions interactives de l'arbre d'òrbites de Collatz i de l'estructura modular del residu R(·). En preparació.
Congressos
Les participacions en congressos i seminaris es publicaran aquí a mesura que vagin succeint.