Pregunta 3 · Relació d'aspecte: $1{,}\overline{7}$ i $\tfrac{16}{9}$
Demostrar, sense calculadora, que un decimal periòdic és una fracció.
Puntuació màxima · 1 puntsLa veïna de la Paula li ha dit que la seva pantalla de televisió té una relació d'aspecte de $1{,}\overline{7}$ i que és la mateixa que té la Paula. A la botiga van dir a la Paula que la seva tenia una relació d'aspecte $\dfrac{16}{9}$ i no entén com és que sigui la mateixa. Demostra-ho sense utilitzar la calculadora.
Correcció pas a pas
Anomenem $x = 1{,}777\ldots$ Multipliquem per $10$ perquè la part decimal periòdica quedi igual:
$$10x = 17{,}777\ldots \qquad x = 1{,}777\ldots$$
Restem les dues igualtats: els decimals s'anul·len.
$$10x - x = 17{,}777\ldots - 1{,}777\ldots \;\Longrightarrow\; 9x = 16 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{16}{9}$$
Resultat: $1{,}\overline{7} = \dfrac{16}{9}$: és el mateix nombre escrit de dues maneres.