Pregunta 3 · Relación de aspecto: $1{,}\overline{7}$ y $\tfrac{16}{9}$
Demostrar, sin calculadora, que un decimal periódico es una fracción.
Puntuación máxima · 1 puntosLa vecina de Paula le ha dicho que su pantalla de televisión tiene una relación de aspecto de $1{,}\overline{7}$ y que es la misma que tiene la de Paula. En la tienda le dijeron a Paula que la suya tenía una relación de aspecto de $\dfrac{16}{9}$ y no entiende cómo es que sean la misma. Demuéstralo sin utilizar la calculadora.
Corrección paso a paso
Llamamos $x = 1{,}777\ldots$ Multiplicamos por $10$ para que la parte decimal periódica quede igual:
$$10x = 17{,}777\ldots \qquad x = 1{,}777\ldots$$
Restamos las dos igualdades: los decimales se cancelan.
$$10x - x = 17{,}777\ldots - 1{,}777\ldots \;\Longrightarrow\; 9x = 16 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{16}{9}$$
Resultado: $1{,}\overline{7} = \dfrac{16}{9}$: es el mismo número escrito de dos maneras.