Pregunta 4 · Operacions combinades

Quatre operacions combinades amb fraccions, decimals (incloent-hi periòdics) i potències.

Puntuació màxima · 3 punts

Resol les següents operacions combinades amb fraccions i nombres decimals. Recorda l'ordre d'operacions: parèntesis i arrels $\to$ potències $\to$ multiplicacions i divisions (d'esquerra a dreta) $\to$ sumes i restes.

$\left(\dfrac{3}{4} + 0{,}125\right)\cdot\sqrt{\dfrac{16}{25}} - \dfrac{7}{10}$ 0,75 p
$\dfrac{5}{2} + \dfrac{9}{35}\cdot 6{,}\overline{2} - \dfrac{6}{5} : 4{,}\overline{19}$ 0,75 p
$\left(\dfrac{7}{3}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{7}{3}\right)^{4} : \left[\left(\dfrac{7}{3}\right)^{2}\right]^{3}$ 0,75 p
$\left(\dfrac{6}{5}\right)^{-2}\cdot\left(\dfrac{5}{6}\right)^{5} : \left(\dfrac{10}{12}\right)^{7}$ 0,75 p

2n ESO · Sentit numèric Fraccions Decimals Potències

Correcció pas a pas

a) $\left(\tfrac{3}{4}+0{,}125\right)\cdot\sqrt{\tfrac{16}{25}}-\tfrac{7}{10}$

Convertim el decimal a fracció: $0{,}125 = \dfrac{125}{1000} = \dfrac{1}{8}$.

\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}.

Calculem l'arrel:

\sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \dfrac{4}{5}.

Multipliquem i restem:

\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{4}{5} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{28}{40} - \dfrac{7}{10} = \dfrac{7}{10} - \dfrac{7}{10} = 0.

Resultat: $\boxed{0}$.

b) $\tfrac{5}{2}+\tfrac{9}{35}\cdot 6{,}\overline{2}-\tfrac{6}{5}:4{,}\overline{19}$

Passem els decimals periòdics a fracció.

Per a $6{,}\overline{2}$: si $y=6{,}222\ldots$ aleshores $10y-y=62-6=56$, d'on $y=\dfrac{56}{9}$.

Per a $4{,}\overline{19}$: si $z=4{,}191919\ldots$ aleshores $100z-z=419-4=415$, d'on $z=\dfrac{415}{99}$.

Calculem la multiplicació i la divisió primer:

\dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{56}{9} = \dfrac{56}{35} = \dfrac{8}{5},

\dfrac{6}{5}:\dfrac{415}{99} = \dfrac{6}{5}\cdot\dfrac{99}{415} = \dfrac{594}{2075}.

Sumem i restem amb denominador comú. Com que $5/2 + 8/5 = \dfrac{25}{10}+\dfrac{16}{10}=\dfrac{41}{10}$:

\dfrac{41}{10} - \dfrac{594}{2075}.

El mínim comú múltiple de $10$ i $2075=5^2\cdot 83$ és $4150$:

\dfrac{41}{10} = \dfrac{17015}{4150}, \qquad \dfrac{594}{2075} = \dfrac{1188}{4150}.

\dfrac{17015}{4150}-\dfrac{1188}{4150} = \dfrac{15827}{4150}.

El nombre $15827$ no és divisible ni per $2$, ni per $5$, ni per $83$, així que $\dfrac{15827}{4150}$ és irreductible.

Resultat: $\boxed{\dfrac{15827}{4150}\approx 3{,}8137}$.

c) $\left(\tfrac{7}{3}\right)^{2}\cdot\left(\tfrac{7}{3}\right)^{4}:\left[\left(\tfrac{7}{3}\right)^{2}\right]^{3}$

Apliquem propietats de potències de la mateixa base $\tfrac{7}{3}$:

\left(\tfrac{7}{3}\right)^{2}\cdot\left(\tfrac{7}{3}\right)^{4} = \left(\tfrac{7}{3}\right)^{2+4} = \left(\tfrac{7}{3}\right)^{6}.

\left[\left(\tfrac{7}{3}\right)^{2}\right]^{3} = \left(\tfrac{7}{3}\right)^{2\cdot 3} = \left(\tfrac{7}{3}\right)^{6}.

Per tant:

\left(\tfrac{7}{3}\right)^{6} : \left(\tfrac{7}{3}\right)^{6} = \left(\tfrac{7}{3}\right)^{6-6} = \left(\tfrac{7}{3}\right)^{0} = 1.

Resultat: $\boxed{1}$.

d) $\left(\tfrac{6}{5}\right)^{-2}\cdot\left(\tfrac{5}{6}\right)^{5}:\left(\tfrac{10}{12}\right)^{7}$

Reescrivim totes les bases com $\tfrac{5}{6}$. Recordem que $\left(\tfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\tfrac{b}{a}\right)^{n}$ i que $\tfrac{10}{12}=\tfrac{5}{6}$:

\left(\tfrac{6}{5}\right)^{-2} = \left(\tfrac{5}{6}\right)^{2}, \qquad \left(\tfrac{10}{12}\right)^{7} = \left(\tfrac{5}{6}\right)^{7}.

Substituïm i sumem exponents:

\left(\tfrac{5}{6}\right)^{2}\cdot\left(\tfrac{5}{6}\right)^{5} : \left(\tfrac{5}{6}\right)^{7} = \left(\tfrac{5}{6}\right)^{2+5-7} = \left(\tfrac{5}{6}\right)^{0} = 1.

Resultat: $\boxed{1}$.