Pregunta 6 · Reduir a una única potència
Combinació de potències amb bases diferents que es pot reduir a una sola potència.
Puntuació màxima · 1 puntDeixa el resultat com una única potència d'exponent i base positiva.
- $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} : \left(\dfrac{5}{6}\right)^{6}$ 1 p
2n ESO · Sentit numèric
Potències
Mateix exponent
Correcció pas a pas
Idea clau: dues propietats útils. (1) Mateixa base: $a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}$. (2) Mateix exponent: $\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$.
a) $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{4}\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}:\left(\tfrac{5}{6}\right)^{6}$
Primer agrupem les dues potències amb la mateixa base $\tfrac{2}{3}$, sumant els exponents:
$$\left(\dfrac{2}{3}\right)^{4}\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{4+2} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{6}.$$
Ara tenim un quocient de potències amb el mateix exponent ($6$), però amb bases diferents. Apliquem la propietat $\dfrac{a^{n}}{b^{n}} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}$:
$$\dfrac{\left(\tfrac{2}{3}\right)^{6}}{\left(\tfrac{5}{6}\right)^{6}} = \left(\dfrac{\,\tfrac{2}{3}\,}{\tfrac{5}{6}}\right)^{6} = \left(\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{6}{5}\right)^{6} = \left(\dfrac{12}{15}\right)^{6}.$$
Simplifiquem la base $\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$:
$$\left(\dfrac{12}{15}\right)^{6} = \left(\dfrac{4}{5}\right)^{6}.$$
La base és positiva ($4/5 > 0$) i l'exponent és positiu ($6 > 0$), com demanava l'enunciat.
Resultat: $\left(\dfrac{4}{5}\right)^{6}$.