L’home i la nota al marge

L’origen del problema més senzill que ningú sap resoldre.

Comencem pel que és l’únic senzill d’aquesta història: la regla. La conjectura de Collatz es construeix sobre una funció definida en els enters positius: a cada nombre $n$ se li assigna la seva meitat si és parell, i el seu triple més un si és senar.[1][1] · Collatz, L. (1986)Font original · anglès“Now we define the ‘3n+1’ function: f(n)=3n+1 for odd n, n/2 for even n. […] For each n there is an index k(n) so that f_k(n)=1.”Traducció«Definim ara la funció “3n+1”: f(n)=3n+1 per a n senar, n/2 per a n parell. […] Per a cada n existeix un índex k(n) tal que f_k(n)=1.»

$$f(n)=\begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{si } n \text{ és parell},\\[4pt] 3n+1 & \text{si } n \text{ és senar}.\end{cases}$$

Aplicada una vegada i una altra a partir de qualsevol $n$, genera una successió, i la conjectura afirma que aquesta successió, parteixi d’on parteixi, acaba sempre en l’1. Així la va deixar plantejada el mateix Collatz.

I així d’enganyosa. Ningú no l’ha sabut demostrar, i no pas per falta d’evidència: s’ha comprovat, un a un, per a tots els enters fins a 2⁷¹,[2] és a dir, uns 2,36 · 10²¹, sense una sola excepció. Però una llista de casos, per llarga que sigui, mai no arriba a ser una demostració. És un problema que qualsevol nen entén en un minut i al qual els millors matemàtics del món no han trobat el flanc en gairebé un segle.

Bona part d’aquesta dificultat rau en com de capricioses són les seves successions. El 27, per exemple, no baixa sense més: s’enfila fins a un pic de 9.232 abans de desplomar-se, i només aterra a l’1 després de 111 passos.[3][3] · Guy, R. K. (1983)Font original · anglès“Figure 6 includes all the numbers up to 26; the branch containing 27 is a much longer one, but still comes down to 1 after 111 steps.”Traducció«La Figura 6 inclou tots els nombres fins al 26; la branca que conté el 27 és molt més llarga, però tot i així baixa fins a 1 després de 111 passos.» —un vaivé que ha valgut a aquests nombres el sobrenom de «calamarsa»:

Comença a o prova: 6 27 97 871

Un comportament tan salvatge a partir d’una regla tan elemental és el que ha mantingut el problema viu durant dècades. Però abans de ser un mur va ser una anotació al marge d’un quadern. I l’home que la va escriure hauria estat el primer a sorprendre’s que sigui això —justament això— el que el món recorda d’ell.

Qui era Lothar Collatz

Convé desfer un malentès d’entrada: Collatz no era un caçador d’endevinalles. Va ser un dels grans de l’anàlisi numèrica alemanya del segle XX —prop de 250 articles, una desena de llibres, quaranta doctorands—,[4][4] · Biener, K. (1993)Font original · alemany„Tatsächlich hat Collatz sein gesamtes Lebenswerk nahezu ausschließlich der Angewandten, insbesondere der Numerischen Mathematik gewidmet und mehrere Algorithmen ausgearbeitet, die für einen computergestützten Einsatz zur Lösung verschiedener praxisrelevanter mathematischer Probleme gedacht sind.“Traducció«De fet, Collatz va dedicar tota la seva obra vital gairebé exclusivament a la matemàtica aplicada, en particular la numèrica, i va desenvolupar diversos algorismes pensats per a ser usats en ordinador en la resolució de diferents problemes matemàtics de rellevància pràctica.» i el seu nom segueix viu on menys se’l busca: en la fórmula de Collatz–Wielandt, sobre els valors propis d’una matriu,[5] i en un article de 1957, escrit amb Ulrich Sinogowitz, que es considera un dels articles fundacionals de la teoria espectral de grafs.[6, 7] Sinogowitz no el va arribar a veure imprès: va morir en el bombardeig de Darmstadt, el 1944.[8]

S’havia doctorat a Berlín el 1935. El seu veritable mestre, Richard von Mises, va haver d’emigrar fugint de la persecució nazi, i Collatz, com altres doctorands que es van quedar sense director, va passar a mans d’Alfred Klose.[8, 9] El mateix Collatz es va afiliar a les SA el 1933 i al partit nazi el 1937, i durant la guerra va treballar en càlculs de balística.[8, 10]

Tenia una idea del seu ofici que avui sona gairebé a manifest: per a ell, la frontera entre matemàtica «pura» i «aplicada» era un sense-sentit; no hi havia dos camps, sinó un de sol.[4][4] · Biener, K. (1993)Font original · alemany„…der Verfasser wäre glücklich, wenn dieses Buch dazu beitragen würde, den unseligen Unterschied zwischen „reiner“ und „angewandter“ Mathematik ad absurdum zu führen, denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine Mathematik.“Traducció«…l’autor seria feliç si aquest llibre contribuís a portar a l’absurd la nefasta distinció entre matemàtica “pura” i “aplicada”, car no hi ha cap línia divisòria entre tots dos camps: només hi ha una matemàtica.» Potser per això té el seu punt d’ironia que un matemàtic amb una obra tan ampla i tan profunda acabi sent recordat, sobretot, per una curiositat de tres ratlles.[11][11] · MacTutor (2006)Font original · anglès“In many ways it might seem a pity that a mathematician who has produced so much important and fundamental work should be most remembered for a novelty.”Traducció«En certa manera, sembla una llàstima que un matemàtic que ha produït una obra tan important i fonamental sigui recordat sobretot per una curiositat.» Dibuixava, per cert, amb notable talent —es conserva un estudi a ploma seu dels mosaics de la basílica de San Vitale, a Ravenna—: el mateix ull per al patró i l’estructura que, com veurem de seguida, el va portar al 3n+1.[4]

D’on va sortir

Collatz no va arribar al 3n+1 buscant una endevinalla, sinó fent una cosa molt seva: dibuixar funcions. L’apassionava representar les funcions aritmètiques com a grafs —un punt per a cada nombre, una fletxa de $n$ a $f(n)$— i classificar-les per la forma que adoptaven: línies, arbres, boscos, cicles.[1] El 3n+1 va néixer d’aquest joc, mentre construïa funcions senzilles a la caça de cicles.

La seva afició venia de lluny, de les classes d’Edmund Landau, Oskar Perron i Issai Schur en els seus anys d’estudiant, entre 1928 i 1933.[1] En un quadern seu, datat l’1 de juliol de 1932, ja apareix una d’aquestes preguntes[12][12] · Lagarias, J. C. (1985)Font original · anglès“The exact origin of the 3x+1 problem is obscure. It has circulated by word of mouth in the mathematical community for many years.”Traducció«L’origen exacte del problema 3x+1 és obscur. Ha circulat de boca en boca dins la comunitat matemàtica durant molts anys.» —encara que encara no era el 3n+1, sinó una permutació diferent dels enters, que Klamkin publicaria el 1963 i que segueix sense resoldre’s—. I aquí cal una precisió que gairebé ningú no fa —jo inclòs: en la primera nota d’aquesta sèrie, L’Anell de Collatz, vaig datar el problema el 1937—. Aquesta data, però, no la recolza cap document del problema. L’única que es recolza en un escrit és la d’aquell quadern —tot i que, com admet el mateix Lagarias, l’origen exacte continua sent «obscur»—.

Res de tot això, a més, no era el centre de la seva feina. Collatz era un analista numèric seriós; el 3n+1 va ser sempre el que gargotejava al marge, mentre s’ocupava del que era important. D’aquí el títol d’aquesta nota: l’home, i la nota al marge.

Tampoc no el va publicar. El va difondre de viva veu —el va descriure al seu col·lega Helmut Hasse el 1952, en arribar a Hamburg—,[1] i, quan finalment el va deixar escrit, el va plantejar en dues formes equivalents: que tota òrbita acaba en l’1 o, dit amb els seus grafs, que el graf de la funció és connex. Va precisar fins i tot què caldria per tancar el problema: demostrar que sempre s’arriba a l’1, o exhibir un cicle diferent del trivial 1 → 4 → 2 → 1.[1] Aquestes dues cares —el descens i els cicles— són, justament, el fil de la propera nota.

El problema que es va escapar del quadern

Un problema que viatja de boca en boca acaba recollint noms pel camí, i el de Collatz en va reunir uns quants. Se li atribueix una xerrada informal al Congrés Internacional de Matemàtics de 1950, a Cambridge —la de Massachusetts—, on van fer conferències Coxeter, Kakutani i Ulam; d’aquí que els seus noms acabessin enganxats al problema.[12] Hasse, a qui Collatz l’hi havia explicat a Hamburg, el va difondre al seu torn —alguns el van anomenar «algorisme de Hasse»—, i va ser ell qui, de visita a la Universitat de Syracuse, li va posar el nom pel qual molts encara el coneixen: el problema de Siracusa.[12]

Hi va haver fins i tot qui en va reclamar l’autoria: el britànic Bryan Thwaites assegura haver-se’l inventat, pel seu compte, el 1952.[13] I a les mateixes successions els va sortir un malnom —«nombres calamarsa»—, que va encunyar Brian Hayes el 1984 perquè pugen i baixen al llarg del seu recorregut com la calamarsa dins d’un núvol abans de caure.[14]

El que crida l’atenció és que, tot i circular des dels anys trenta, el problema no va aparèixer imprès fins al 1971. En aquelles dècades dominava una manera de fer matemàtiques —la de l’escola Bourbaki— que premiava les grans teories interconnectades, i un problema aïllat, amb resultats febles, semblava gairebé de mal gust: una cosa déclassé, capaç de fer malbé la reputació de qui se’l prengués seriosament.[15] Quan finalment va saltar a la lletra impresa, ho va fer gairebé de gairell: en el text d’una xerrada del geòmetra H. S. M. Coxeter, que el va presentar —amb sorna— com «una xafarderia matemàtica».[16][16] · Coxeter, H. S. M. (1971)Font original · anglès“A more recent piece of mathematical gossip concerns the sequence of positive integers x₁, x₂, …, where x₁ is given and x_r+1 = ½x_r or 3x_r + 1 according as x_r is even or odd.”Traducció«Una xafarderia matemàtica més recent es refereix a la successió d’enters positius x₁, x₂, …, on x₁ està donat i x_r+1 = ½x_r o 3x_r + 1 segons x_r sigui parell o senar.» L’any següent, Martin Gardner el va portar a la seva columna de Scientific American, i el problema va deixar de ser un secret de passadís per convertir-se en un clàssic de la divulgació.[17]

«Les matemàtiques encara no estan preparades»

Que el problema sigui fàcil d’enunciar no vol dir que sigui fàcil d’abordar; més aviat al contrari. La frase que millor ho resumeix se sol atribuir a Paul Erdős, un dels matemàtics més prolífics del segle XX, que davant la seva dificultat sentencià[12][12] · Lagarias, J. C. (1985)Font original · anglès“Paul Erdős commented concerning the intractability of the 3x+1 problem: ‘Mathematics is not yet ready for such problems.’”Traducció«Paul Erdős va comentar, a propòsit de la intractabilitat del problema 3x+1: “Les matemàtiques encara no estan preparades per a problemes així”.» que les matemàtiques encara no estaven preparades per a problemes així. Circula també una variant —«encara no estan madures per a aquestes preguntes»—, que va recollir Richard Guy i que dona títol al seu cèlebre article, No intenteu resoldre aquests problemes.[3]

I, amb tot, el problema ha temptat molts. Tant, que s’han arribat a oferir premis per resoldre’l: Coxeter va prometre \(\$50\) a qui en donés una demostració i \(\$100\) a qui en trobés un contraexemple;[16] Erdős en va posar \(\$500\) sobre la taula; i Bryan Thwaites va arribar a oferir \(\pounds1{,}000\).[12] Ningú no els ha cobrat.

Convé entendre-ho bé, perquè és la clau de la seva fama: la conjectura de Collatz no és una endevinalla fàcil que ningú no s’hagi molestat a resoldre. És un mur que la mateixa elit matemàtica reconeix com a tal. El difícil no és la regla —ja hem vist que cap en una ratlla—, sinó el que amaga a sota.

Una pregunta que va sobreviure

Gairebé un segle després d’aquella anotació, la pregunta segueix dempeus, indemne. Ha canviat de nom mitja dotzena de vegades i ha resistit Erdős, els ordinadors i tots els qui ho van intentar.

Però queda alguna cosa per explicar, i és el que de debò la torna formidable: el mateix Collatz ho va veure. No és un problema, en són dos —baixa sempre a l’1?, existeixen altres cicles?—, i aquesta és la història de la propera nota.

Nota relacionada: L’Anell de Collatz — el mateix problema, explicat a través de Tolkien.

---

Bibliografia

Cada font enllaça al seu document original quan és accessible. Oferim traducció pròpia quan la llicència ho permet (CC, domini públic); en fonts amb copyright (©) mostrem només els fragments traduïts que veus al text, emparats pel dret de cita.

• [1]Collatz, L. (1986). On the motivation and origin of the (3n+1)-problem. A J. C. Lagarias (Ed.), The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem (pp. 241–247). AMS, 2010. (Trad. de Mark Conger.)Accés ↗De pagament (llibre AMS) · anglès · fragments al text (©)
• [2]Bařina, D. (2025). Improved verification limit for the convergence of the Collatz conjecture. The Journal of Supercomputing.Dades del projecte ↗Article tècnic · sense traducció
• [3]Guy, R. K. (1983). Don't try to solve these problems! Amer. Math. Monthly, 90(1), 35–41.Accés ↗De pagament (reimprès a The Ultimate Challenge, AMS) · anglès · fragments al text (©)
• [4]Biener, K. (1993). Bedeutender Promovend unserer Universität: Lothar Collatz. RZ-Mitteilungen 5, HU Berlin, 32–33.Original (PDF) ↗Alemany · traducció pròpia dels fragments citats (©)
• [5]Collatz, L. (1942). Einschließungssatz für die charakteristischen Zahlen von Matrizen. Math. Z. 48, 221–226.Accés: GDZ / EuDML (Math. Z. 48) · alemany · article tècnic
• [6]Collatz, L., & Sinogowitz, U. (1957). Spektren endlicher Grafen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 21, 63–77.Accés: Springer · alemany · article tècnic
• [7]Cvetković, D., Doob, M., & Sachs, H. (1995). Spectra of Graphs. Theory and Applications (3.ª ed.). Johann Ambrosius Barth.Accés: editorial / biblioteca · anglès · llibre de referència
• [8]Althöfer, I. (2020). Lothar Collatz zwischen 1933 und 1950 – Eine Teilbiographie. 3-Hirn-Verlag.Original (pp. 1–46) ↗Alemany · fragments al text (©)
• [9]Mathematics Genealogy Project, id 20676 (Lothar Collatz).Original ↗Registre de dades · sense traducció
• [10]Segal, S. L. (2003). Mathematicians under the Nazis. Princeton University Press.Accés: Princeton UP / biblioteca · anglès · fragments al text (©)
• [11]O'Connor, J. J., & Robertson, E. F. (2006). Lothar Collatz. MacTutor, Univ. of St Andrews.Original ↗Anglès · fragments al text (©)
• [12]Lagarias, J. C. (1985). The 3x+1 problem and its generalizations. Amer. Math. Monthly, 92(1), 3–23.Original ↗En obert (web de l’autor) · anglès · fragments al text (©)
• [13]Thwaites, B. (1985). My conjecture. Bull. Inst. Math. Appl., 21, 35–41.Accés: biblioteca · anglès
• [14]Hayes, B. (1984). Computer recreations: The ups and downs of hailstone numbers. Scientific American, 250(1), 10–16.Accés: Scientific American (de pagament) · anglès · fragments al text (©)
• [15]Lagarias, J. C. (2010). The 3x+1 problem: an overview. En The Ultimate Challenge, AMS, 3–29.arXiv ↗En obert (arXiv) · anglès · fragments al text (©)
• [16]Coxeter, H. S. M. (1971). Cyclic sequences and frieze patterns. Vinculum, 8, 4–7. [Reimprès a The Ultimate Challenge, AMS 2010, 211–218.]Accés ↗De pagament (llibre AMS) · anglès · fragments al text (©)
• [17]Gardner, M. (1972). Mathematical Games. Scientific American, 226(6), 114–118.Accés: Scientific American (de pagament) · anglès