El hombre y la nota al margen

El origen del problema más sencillo que nadie sabe resolver.

Empecemos por lo único sencillo de esta historia: la regla. La conjetura de Collatz se construye sobre una función definida en los enteros positivos: a cada número $n$ se le asigna su mitad si es par, y su triple más uno si es impar.[1][1] · Collatz, L. (1986)Fuente original · inglés“Now we define the ‘3n+1’ function: f(n)=3n+1 for odd n, n/2 for even n. […] For each n there is an index k(n) so that f_k(n)=1.”Traducción«Definimos ahora la función “3n+1”: f(n)=3n+1 para n impar, n/2 para n par. […] Para cada n existe un índice k(n) tal que f_k(n)=1.»

$$f(n)=\begin{cases} \dfrac{n}{2} & \text{si } n \text{ es par},\\[4pt] 3n+1 & \text{si } n \text{ es impar}.\end{cases}$$

Aplicada una y otra vez a partir de cualquier $n$, genera una sucesión, y la conjetura afirma que esa sucesión, parta de donde parta, termina siempre en el 1. Así la dejó planteada el propio Collatz.

Y así de engañosa. Nadie ha sabido demostrarla, y no por falta de evidencia: se ha comprobado, uno a uno, para todos los enteros hasta 2⁷¹,[2] es decir, unos 2,36 · 10²¹, sin una sola excepción. Pero una lista de casos, por larga que sea, nunca llega a ser una demostración. Es un problema que cualquier niño entiende en un minuto y al que los mejores matemáticos del mundo no le han encontrado el flanco en casi un siglo.

Buena parte de esa dificultad está en lo caprichosas que son sus sucesiones. El 27, por ejemplo, no baja sin más: trepa hasta alcanzar un pico de 9.232 antes de desplomarse, y solo aterriza en el 1 tras 111 pasos.[3][3] · Guy, R. K. (1983)Fuente original · inglés“Figure 6 includes all the numbers up to 26; the branch containing 27 is a much longer one, but still comes down to 1 after 111 steps.”Traducción«La Figura 6 incluye todos los números hasta el 26; la rama que contiene al 27 es mucho más larga, pero aun así baja hasta 1 después de 111 pasos.» —un vaivén que ha valido a estos números el apodo de «granizo»:

Empieza en o prueba: 6 27 97 871

Un comportamiento tan salvaje a partir de una regla tan elemental es lo que ha mantenido el problema vivo durante décadas. Pero antes de ser un muro fue una anotación al margen de un cuaderno. Y el hombre que la escribió habría sido el primero en sorprenderse de que sea esto —justamente esto— lo que el mundo recuerda de él.

Quién era Lothar Collatz

Conviene deshacer un malentendido de entrada: Collatz no era un cazador de acertijos. Fue uno de los grandes del análisis numérico alemán del siglo XX —cerca de 250 artículos, una decena de libros, cuarenta doctorandos—,[4][4] · Biener, K. (1993)Fuente original · alemán„Tatsächlich hat Collatz sein gesamtes Lebenswerk nahezu ausschließlich der Angewandten, insbesondere der Numerischen Mathematik gewidmet und mehrere Algorithmen ausgearbeitet, die für einen computergestützten Einsatz zur Lösung verschiedener praxisrelevanter mathematischer Probleme gedacht sind.“Traducción«De hecho, Collatz dedicó toda su obra vital casi exclusivamente a la matemática aplicada, en particular la numérica, y desarrolló varios algoritmos pensados para su uso en ordenador en la resolución de distintos problemas matemáticos de relevancia práctica.» y su nombre sigue vivo donde menos se le busca: en la fórmula de Collatz–Wielandt, sobre los valores propios de una matriz,[5] y en un artículo de 1957, escrito con Ulrich Sinogowitz, que se considera uno de los artículos fundacionales de la teoría espectral de grafos.[6, 7] Sinogowitz no llegó a verlo impreso: murió en el bombardeo de Darmstadt, en 1944.[8]

Se había doctorado en Berlín en 1935. Su verdadero maestro, Richard von Mises, tuvo que emigrar huyendo de la persecución nazi, y Collatz, como otros doctorandos que se quedaron sin director, pasó a manos de Alfred Klose.[8, 9] El propio Collatz se afilió a las SA en 1933 y al partido nazi en 1937, y durante la guerra trabajó en cálculos de balística.[8, 10]

Tenía una idea de su oficio que hoy suena casi a manifiesto: para él, la frontera entre matemática «pura» y «aplicada» era un sinsentido; no había dos campos, sino uno solo.[4][4] · Biener, K. (1993)Fuente original · alemán„…der Verfasser wäre glücklich, wenn dieses Buch dazu beitragen würde, den unseligen Unterschied zwischen ‚reiner‘ und ‚angewandter‘ Mathematik ad absurdum zu führen, denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine Mathematik.“Traducción«…el autor sería feliz si este libro contribuyera a llevar al absurdo la nefasta distinción entre matemática ‚pura‘ y ‚aplicada‘, pues no hay línea divisoria entre ambos campos: solo hay una matemática.» Quizá por eso tiene su punto de ironía que un matemático con una obra tan ancha y tan honda acabe siendo recordado, sobre todo, por una curiosidad de tres líneas.[11][11] · MacTutor (2006)Fuente original · inglés“In many ways it might seem a pity that a mathematician who has produced so much important and fundamental work should be most remembered for a novelty.”Traducción«En cierto modo, parece una lástima que un matemático que ha producido una obra tan importante y fundamental sea recordado sobre todo por una curiosidad.» Dibujaba, por cierto, con notable talento —se conserva un estudio a pluma suyo de los mosaicos de la basílica de San Vitale, en Rávena—: el mismo ojo para el patrón y la estructura que, como veremos enseguida, lo llevó al 3n+1.[4]

De dónde salió

Collatz no llegó al 3n+1 buscando un acertijo, sino haciendo algo muy suyo: dibujar funciones. Le fascinaba representar las funciones aritméticas como grafos —un punto por cada número, una flecha de $n$ a $f(n)$— y clasificarlas por la forma que adoptaban: líneas, árboles, bosques, ciclos.[1] El 3n+1 nació de ese juego, mientras construía funciones sencillas a la caza de ciclos.

Su afición venía de lejos, de las clases de Edmund Landau, Oskar Perron e Issai Schur en sus años de estudiante, entre 1928 y 1933.[1] En un cuaderno suyo, fechado el 1 de julio de 1932, ya aparece una de estas preguntas[12][12] · Lagarias, J. C. (1985)Fuente original · inglés“The exact origin of the 3x+1 problem is obscure. It has circulated by word of mouth in the mathematical community for many years.”Traducción«El origen exacto del problema 3x+1 es oscuro. Ha circulado de boca en boca en la comunidad matemática durante muchos años.» —aunque todavía no era el 3n+1, sino una permutación distinta de los enteros, que Klamkin publicaría en 1963 y que sigue sin resolverse—. Y aquí cabe una precisión que casi nadie hace —yo incluido: en la primera nota de esta serie, El Anillo de Collatz, daté el problema en 1937—. Esa fecha, sin embargo, no la respalda ningún documento del problema. La única que se apoya en un escrito es la de ese cuaderno —aunque, como admite el propio Lagarias, el origen exacto sigue siendo «oscuro»—.

Nada de esto, además, era el centro de su trabajo. Collatz era un analista numérico serio; el 3n+1 fue siempre lo que garabateaba al margen, mientras se ocupaba de lo importante. De ahí el título de esta nota: el hombre, y la nota al margen.

Tampoco lo publicó. Lo difundió de viva voz —se lo describió a su colega Helmut Hasse en 1952, al llegar a Hamburgo—,[1] y, cuando por fin lo dejó escrito, lo planteó en dos formas equivalentes: que toda órbita acaba en el 1 o, dicho con sus grafos, que el grafo de la función es conexo. Precisó incluso qué haría falta para cerrar el problema: demostrar que siempre se llega al 1, o exhibir un ciclo distinto del trivial 1 → 4 → 2 → 1.[1] Esas dos caras —el descenso y los ciclos— son, justamente, el hilo de la próxima nota.

El problema que se escapó del cuaderno

Un problema que viaja de boca en boca acaba recogiendo nombres por el camino, y el de Collatz reunió unos cuantos. Se le atribuye una charla informal en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1950, en Cambridge —la de Massachusetts—, donde dieron conferencias Coxeter, Kakutani y Ulam; de ahí que sus nombres acabaran pegados al problema.[12] Hasse, a quien Collatz se lo había contado en Hamburgo, lo difundió a su vez —algunos lo llamaron «algoritmo de Hasse»—, y fue él quien, de visita en la Universidad de Syracuse, le puso el nombre por el que muchos lo conocen todavía: el problema de Siracusa.[12]

Hubo incluso quien reclamó la autoría: el británico Bryan Thwaites asegura habérselo inventado, por su cuenta, en 1952.[13] Y a las propias sucesiones les salió un mote —«números granizo»—, que acuñó Brian Hayes en 1984 porque suben y bajan a lo largo de su recorrido como el granizo dentro de una nube antes de caer.[14]

Lo llamativo es que, pese a circular desde los años treinta, el problema no apareció impreso hasta 1971. En aquellas décadas dominaba un modo de hacer matemáticas —el de la escuela Bourbaki— que premiaba las grandes teorías interconectadas, y un problema aislado, con resultados endebles, parecía casi de mal gusto: algo déclassé, capaz de dañar la reputación de quien lo tomara en serio.[15] Cuando por fin saltó a la letra impresa, lo hizo casi de refilón: en el texto de una charla del geómetra H. S. M. Coxeter, que lo presentó —con sorna— como «un chisme matemático».[16][16] · Coxeter, H. S. M. (1971)Fuente original · inglés“A more recent piece of mathematical gossip concerns the sequence of positive integers x₁, x₂, …, where x₁ is given and x_r+1 = ½x_r or 3x_r + 1 according as x_r is even or odd.”Traducción«Un chisme matemático más reciente se refiere a la sucesión de enteros positivos x₁, x₂, …, donde x₁ está dado y x_r+1 = ½x_r o 3x_r + 1 según x_r sea par o impar.» Al año siguiente, Martin Gardner lo llevó a su columna de Scientific American, y el problema dejó de ser un secreto de pasillo para volverse un clásico de la divulgación.[17]

«Las matemáticas todavía no están preparadas»

Que el problema sea fácil de enunciar no significa que sea fácil de abordar; más bien lo contrario. La frase que mejor lo resume suele atribuirse a Paul Erdős, uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX, que ante su dificultad sentenció[12][12] · Lagarias, J. C. (1985)Fuente original · inglés“Paul Erdős commented concerning the intractability of the 3x+1 problem: ‘Mathematics is not yet ready for such problems.’”Traducción«Paul Erdős comentó, a propósito de la intratabilidad del problema 3x+1: “Las matemáticas todavía no están preparadas para problemas así”.» que las matemáticas todavía no estaban preparadas para problemas así. Circula también una variante —«aún no están maduras para estas preguntas»—, que recogió Richard Guy y que da título a su célebre artículo, No intentéis resolver estos problemas.[3]

Y, con todo, el problema ha tentado a muchos. Tanto, que se han llegado a ofrecer premios por resolverlo: Coxeter prometió \(\$50\) a quien diera una demostración y \(\$100\) a quien hallara un contraejemplo;[16] Erdős puso sobre la mesa \(\$500\); y Bryan Thwaites llegó a ofrecer \(\pounds1{,}000\).[12] Nadie los ha cobrado.

Conviene entenderlo bien, porque es la clave de su fama: la conjetura de Collatz no es un acertijo fácil que nadie se haya molestado en resolver. Es un muro que la propia élite matemática reconoce como tal. Lo difícil no es la regla —ya hemos visto que cabe en un renglón—, sino lo que esconde debajo.

Una pregunta que sobrevivió

Casi un siglo después de aquella anotación, la pregunta sigue en pie, indemne. Ha cambiado de nombre media docena de veces y ha resistido a Erdős, a los ordenadores y a todos los que lo intentaron.

Pero queda algo por contar, y es lo que de verdad la vuelve formidable: el propio Collatz lo vio. No es un problema, son dos —¿baja siempre al 1?, ¿existen otros ciclos?—, y esa es la historia de la próxima nota.

Nota relacionada: El Anillo de Collatz — el mismo problema, contado a través de Tolkien.

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Bibliografía

Cada fuente enlaza a su documento original cuando es accesible. Ofrecemos traducción propia cuando la licencia lo permite (CC, dominio público); en fuentes con copyright (©) mostramos solo los fragmentos traducidos que ves en el texto, amparados por el derecho de cita.

• [1]Collatz, L. (1986). On the motivation and origin of the (3n+1)-problem. En J. C. Lagarias (Ed.), The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem (pp. 241–247). AMS, 2010. (Trad. de Mark Conger.)Acceso ↗De pago (libro AMS) · inglés · fragmentos en el texto (©)
• [2]Bařina, D. (2025). Improved verification limit for the convergence of the Collatz conjecture. The Journal of Supercomputing.Datos del proyecto ↗Artículo técnico · sin traducción
• [3]Guy, R. K. (1983). Don't try to solve these problems! Amer. Math. Monthly, 90(1), 35–41.Acceso ↗De pago (reimpreso en The Ultimate Challenge, AMS) · inglés · fragmentos en el texto (©)
• [4]Biener, K. (1993). Bedeutender Promovend unserer Universität: Lothar Collatz. RZ-Mitteilungen 5, HU Berlin, 32–33.Original (PDF) ↗Alemán · traducción propia de los fragmentos citados (©)
• [5]Collatz, L. (1942). Einschließungssatz für die charakteristischen Zahlen von Matrizen. Math. Z. 48, 221–226.Acceso: GDZ / EuDML (Math. Z. 48) · alemán · artículo técnico
• [6]Collatz, L., & Sinogowitz, U. (1957). Spektren endlicher Grafen. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 21, 63–77.Acceso: Springer · alemán · artículo técnico
• [7]Cvetković, D., Doob, M., & Sachs, H. (1995). Spectra of Graphs. Theory and Applications (3.ª ed.). Johann Ambrosius Barth.Acceso: editorial / biblioteca · inglés · libro de referencia
• [8]Althöfer, I. (2020). Lothar Collatz zwischen 1933 und 1950 – Eine Teilbiographie. 3-Hirn-Verlag.Original (pp. 1–46) ↗Alemán · fragmentos en el texto (©)
• [9]Mathematics Genealogy Project, id 20676 (Lothar Collatz).Original ↗Registro de datos · sin traducción
• [10]Segal, S. L. (2003). Mathematicians under the Nazis. Princeton University Press.Acceso: Princeton UP / biblioteca · inglés · fragmentos en el texto (©)
• [11]O'Connor, J. J., & Robertson, E. F. (2006). Lothar Collatz. MacTutor, Univ. of St Andrews.Original ↗Inglés · fragmentos en el texto (©)
• [12]Lagarias, J. C. (1985). The 3x+1 problem and its generalizations. Amer. Math. Monthly, 92(1), 3–23.Original ↗En abierto (web del autor) · inglés · fragmentos en el texto (©)
• [13]Thwaites, B. (1985). My conjecture. Bull. Inst. Math. Appl., 21, 35–41.Acceso: biblioteca · inglés
• [14]Hayes, B. (1984). Computer recreations: The ups and downs of hailstone numbers. Scientific American, 250(1), 10–16.Acceso: Scientific American (de pago) · inglés · fragmentos en el texto (©)
• [15]Lagarias, J. C. (2010). The 3x+1 problem: an overview. En The Ultimate Challenge, AMS, 3–29.arXiv ↗En abierto (arXiv) · inglés · fragmentos en el texto (©)
• [16]Coxeter, H. S. M. (1971). Cyclic sequences and frieze patterns. Vinculum, 8, 4–7. [Reimpreso en The Ultimate Challenge, AMS 2010, 211–218.]Acceso ↗De pago (libro AMS) · inglés · fragmentos en el texto (©)
• [17]Gardner, M. (1972). Mathematical Games. Scientific American, 226(6), 114–118.Acceso: Scientific American (de pago) · inglés