2. Fraccions equivalents, amplificació i simplificació · Fraccions

Fraccions equivalents

Definició

Són fraccions amb nombres diferents que representen la mateixa quantitat.

Exemple. $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{6}{8}$ són equivalents:

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{6}{8}$

La porció pintada és la mateixa en les dues, així que representen la mateixa quantitat.

Per veure si dues fraccions són equivalents

1. Multiplicació en creu

Dues fraccions són equivalents si en multiplicar en creu obtenim el mateix resultat:

\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \;\;\Longleftrightarrow\;\; a \cdot d = b \cdot c

Exemple. Comprovem que $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$:

3 \cdot 8 = 4 \cdot 6 \;\;\Longrightarrow\;\; 24 = 24 \;\;\checkmark

Sí que són equivalents.

2. Simplificant

Si en simplificar una fracció arribem a l'altra, també són equivalents:

\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}

Per tant, $\dfrac{3}{4}$ i $\dfrac{6}{8}$ són equivalents. (En la secció següent veurem com simplificar pas a pas.)

Amplificació

Definició

Amplificar és trobar una fracció equivalent amb nombres més grans. Per fer-ho, multipliquem el numerador i el denominador pel mateix nombre.

Exemple. A partir de $\dfrac{5}{3}$, podem trobar moltes fraccions equivalents:

\dfrac{5}{3} \;\xrightarrow{\,\times 2\,}\; \dfrac{10}{6} \;\xrightarrow{\,\times 3\,}\; \dfrac{15}{9} \;\xrightarrow{\,\times 4\,}\; \dfrac{20}{12} \;= \;\cdots

Cada pas multipliquem $N$ i $D$ pel mateix nombre. Així obtenim infinites fraccions equivalents.

Simplificació

Definició

Simplificar és trobar una fracció equivalent amb nombres més petits. Per fer-ho, dividim el numerador i el denominador per un divisor comú.

Exemple. Simplifiquem $\dfrac{24}{16}$ pas a pas:

\dfrac{24}{16} \;\xrightarrow{\,\div 2\,}\; \dfrac{12}{8} \;\xrightarrow{\,\div 2\,}\; \dfrac{6}{4} \;\xrightarrow{\,\div 2\,}\; \dfrac{3}{2}

Hem dividit numerador i denominador per $2$ tres vegades. Si haguéssim dividit els dos directament per $8$ (el divisor més gran possible), hauríem arribat a $\dfrac{3}{2}$ d'un sol cop.

Fracció irreductible

Definició

Si dividim numerador i denominador pel màxim comú divisor $\text{MCD}(N, D)$, el resultat no es pot simplificar més: és la fracció irreductible.

Exemple. En el cas anterior, $\text{MCD}(24, 16) = 8$. Dividint d'un sol cop:

\dfrac{24}{16} \;\xrightarrow{\,\div 8\,}\; \dfrac{3}{2}

$\dfrac{3}{2}$ és la fracció irreductible: $3$ i $2$ no tenen cap divisor comú més gran que $1$, així que ja no es pot simplificar més.