Pregunta 2 · Fracció irreductible d'un decimal periòdic mixt
Pas de decimal periòdic mixt a fracció generatriu i simplificació a forma irreductible.
Puntuació màxima · 1 punt- Troba la fracció irreductible, utilitzant el procediment, del nombre $8{,}2\overline{03}$. 1 p
Correcció pas a pas
Idea clau: per passar un decimal periòdic mixt a fracció multipliquem per dues potències de 10 (una que tregui tot el decimal i una altra que el deixi just abans del període) i restem per fer desaparèixer la part periòdica.
a) De $8{,}2\overline{03}$ a fracció
Anomenem $x = 8{,}20303030\ldots$ El període és 03 (té 2 xifres) i la part decimal no periòdica és 2 (té 1 xifra).
Multipliquem per $10^{1+2} = 1000$ (treu tot el decimal fins a un període sencer) i per $10^{1} = 10$ (treu només la part no periòdica):
Restant les dues expressions desapareix la cua periòdica:
Per tant:
Simplifiquem. El numerador i el denominador són tots dos divisibles per 3 (suma de xifres: $8{+}1{+}2{+}1=12$ i $9{+}9{+}0=18$):
Comprovem que $\dfrac{2707}{330}$ ja és irreductible: $330 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 11$ i $2707$ no és divisible ni per $2$ (és senar), ni per $3$ ($2{+}7{+}0{+}7=16$), ni per $5$ (no acaba en $0$ ni $5$), ni per $11$ ($2-7+0-7=-12$).